Данные хранятся только в этом браузере, никуда не отправляются. Периодически делай «Экспорт JSON» как резервную копию.
Экспорт в календарь создаёт на каждый документ два события: «пора продлевать» (за N дней) и «истекает». Импортируй .ics в Google Calendar или календарь телефона, и напоминания придут сами, даже если страница закрыта.